Введем обозначения: масса ведра с нужным количеством воды М, радиус ворота R, масса ручки ворота, представляющей собой груз на конце рычага, m, длина рычага l. Обозначим через а угол рычага с вертикалью, при котором система находится в равновесии, и запишем условие равновесия:

МgR=mglsin а. (1)

Положений равновесия два — при верхнем и нижнем расположениях ручки ворота (рис. 2).

Условие задачи — масса воды минимальна, а ведро еще достигает дна — можно выполнить в случае, если ручка «доедет» до верхнего положения равновесия, имея при этом почти нулевую скорость (в пределе — точно нулевую).

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Ведро опустилось из начального положения на

дельтаh1=R(пи – а) (а — в радианах).

Ручка ворота поднялась из нижнего положения на дельтаh2=l + lсоs а=1(1+соs а).

Начальная и конечная кинетические энергии системы равны нулю. Тогда, в соответствии с законом сохранения энергии, можно записать

Mgдельтаh1 = mgдельтаh2, или МR(пи — а) = ml(1 — соs а). (2)

Из соотношений (1) и (2) получаем

пи-а= ctg(a/2), или a+ctg(a/2) = пи

Это уравнение легко решить численными методами или даже простым подбором по таблице.

Окончательный ответ: а = О,81 рад = 46°.

автор Б. Корсунский